世界园艺博览会将在陕西西安浐灞生态区举行.为了接待来自国内外的各界人士.需招募一批志愿者.要求志愿者不仅要有一定的气质.还需有丰富的人文.地理.历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场.先是面试.面试通过后每人积60分.然后进入知识问答．知识问答有A.B.C.D四个题目.答题者必须按A.B.C.D顺序依次进行.答对A.B.C.D四题分别得20分.20分.40� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．世界园艺博览会将在陕西西安浐灞生态区举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．
假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率．

分析（Ⅰ）写出志愿者甲在知识问答结束时答题的个数X的可能取值，求出各自的概率，得出分布列．
（Ⅱ）志愿者甲能被录用的概率利用相互独立事件的概率求法．

解答解：设某题M答对记为“M”，答错记为“$\overline M$”
（Ⅰ） X的可能取值为2，3，4$P（{X=3}）=P（\overline ABC+A\overline BC）=\frac{1}{6}$$P（{X=4}）=1-P（{ξ=2}）-P（{ξ=3}）=\frac{7}{12}$$或P（{X=4}）=P（\overline A\overline BC（{D+\overline D}）+\overline AB\overline C（{D+\overline D}）+A\overline B\overline C（{D+\overline D}）+\overline A\overline B\overline C（{D+\overline D}））=\frac{7}{12}$
X的分布列为：

X	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{12}$

（Ⅱ）志愿者甲能被录用的概率$P=P（AB+\overline ABC+A\overline BC+\overline A\overline BCD+\overline AB\overline CD+A\overline B\overline CD）$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{25}{48}$-------（12分）
或$P=P（1-A\overline B\overline C\overline D+\overline A\overline BC\overline D+\overline AB\overline C\overline D+\overline A\overline B\overline C（D+\overline D）$=$\frac{25}{48}$-------（12分）

点评本题主要考查随机变量的分布列和相互独立事件的概率求法，属于中档题型，高考时有涉及．

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