Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD是菱形，且PA=AD=2，∠PAD=∠BAD=120°，E，F分别为PD，BD的中点，且．

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；

（2）求锐二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先过P作PO⊥AD，再通过平几知识计算得PO⊥BO，利用线面垂直判定定理得PO⊥平面ABCD，再根据面面垂直判定定理得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得平面ACE的一个法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

（1）过P作PO⊥AD，垂足为O，连结AO，BO，

由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，

∴在Rt△PAO中，PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×=，

∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO，∴△PAO≌△BAO，∴BO=PO=，

∵E，F分别是PA，BD的中点，EF=，∴EF是△PBD的中位线，

∴PB=2EF=2×=，

∴PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO，∵AD∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD，

又PO平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），

∴E（0，），F（，），=（0，），=（，，0），

易得平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），

设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，

取x=1，得=（1，-，1），

设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|==，

∴锐二面角E-AC-D的余弦值为．