Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3²ⁿ-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=3²ⁿ-3，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出an=

6，n=1 8•9n-1，n≥2

．
（2）由b_n=

n

an

=

1 6 ，n=1 n 8•9n-1 ，n≥2

，利用分组求和法和错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3²ⁿ-3，
∴a₁=S₁=3²-3=6，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3²ⁿ-3-3^2n-2+3=8•9^n-1．
∴an=

6，n=1 8•9n-1，n≥2

．
（2）∵b_n=

n

an

=

1 6 ，n=1 n 8•9n-1 ，n≥2

，
∴n=1时，T_n=

1

6

，
n≥2时，T_n=

1

6

+

2

8×9

+

3

8×92

+…+

n

8×9n-1

，①

1

9

Tn=

1

6×9

+

2

8×92

+

3

8×93

+…+

n

8×9n

，②
①-②，得

8

9

Tn=

8

54

+

2

72

+

1

8

（

1

92

+

1

93

+…+

1

9n-1

）-

n

8×9n

=

19

108

+

1

8

×

1 81 (1- 1 9n-2 )

1- 1 9

-

n

8×9n

=

19

108

+

1

64×9

-

1

64×9n

-

n

8×9n

，
∴T_n=

301

1536

-

1

512×9n-1

-

n

64×9n-1

．
∴T_n=

1 6 ，n=1 301 1536 - 1 512×9n-1 - n 64×9n-1 ，n≥2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和地和裂项求和法的合理运用．