Question

已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+

1

m2-2mn+n2

≥2n+a．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式的解法

专题：综合题,推理和证明,不等式

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；
（Ⅱ）作差，利用基本不等式证明结论．

解答： （Ⅰ）解：|x+1|-|2-x|≤|x+1+2-x|=3，3=|x+1+2-x|≤|x+1|+|2-x|
∵对任意实数x，不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立，
∴a=3；
（Ⅱ）证明：2m+

1

m2-2mn+n2

-2n=（m-n）+（m-n）+

1

(m-n)2

，
∵m＞n＞0，
∴（m-n）+（m-n）+

1

(m-n)2

≥3

3	(m-n)(m-n)• 1 (m-n)2

=3，
∴2m+

1

m2-2mn+n2

-2n≥3，
即2m+

1

m2-2mn+n2

≥2n+a．

点评：本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．