Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，．

（1）求证：平面PAD；

（2）在棱AB上是否存在一点F，使得平面平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）存在，

【解析】

（1）根据已知条件便可证明平面BCE∥平面PAD，从而便得到CE∥平面PAD；
（2）首先分别以AB，AD，AP三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，要使平面DEF⊥平面PCE，则有这两平面的法向量垂直，设，平面PCE的法向量为，根据即可求出，同样的办法表示出平面DEF的法向量，根据即可求出，从而求出的值.

解：（1）设PA中点为G，连结EG，DG，

因为，且，，所以且，

所以四边形BEGA为平行四边形，所以，且．

因为正方形ABCD，所以，，

所以，且，

所以四边形CDGE为平行四边形，所以．

因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．

(2)如图，建立空间坐标系，则，，，，，

所以，，．

设平面PCE的一个法向量为，

所以

令，则，所以．

假设存在点满足题意，则，．

设平面DEF的一个法向量为，

则，

令，则，所以．

因为平面平面PCE，所以，即，

所以，故存在点满足题意，且．