Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（（2b-c）cosA=acosc
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简结合和与差的公式（2b-c）cosA=acosc，可得角A的大小．
（Ⅱ）根据a=3，△ABC的面积是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，利用余弦定理求出b+c的值可得△ABC的周长．

解答 解：（Ⅰ）∵（2b-c）cosA=acosc，
由正弦定理，可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC．
得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC．
即2sinBcosA=sinB．
∵0＜B＜π，sinB≠0．
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵△ABC的面积是$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，a=3．
可得：$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，
得：bc=9．
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
得：9=（b+c）²-2bc-2bccosA，
∴（b+c）²=36
即：b+c=6
故得：△ABC的周长l=a+b+c=6+3=9．

点评 本题考查△ABC的面积公式的运用以及正余弦定理的合理运用，考查了计算能力．属于基础题．