Question

2．设曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（其中θ为参数）．曲线${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
（Ⅰ）将曲线C₁和C₂，化为直角坐标系下的方程：
（Ⅱ）设C₁和C₂的交点分别为A，B．求线段AB的中垂线的参数方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据sin²θ+cos²θ=1，求出C₁的普通方程，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出C₂的普通方程即可；
（Ⅱ）联立方程组，求出AB的中点坐标，从而求出AB的中垂线方程即可．

解答 解  （Ⅰ）∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（其中θ为参数），
∴C₁：$\frac{x^2}{2}$+y²=1
∵曲线${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ得：
C₂：2x+2y-1=0…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$（\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1，\\ y=-x+\frac{1}{2}.\end{array}\right.$，得：3x²-2x-$\frac{3}{2}$=0，
则  x₁+x₂=$\frac{2}{3}$．∴AB中点坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$）．
∴AB的中垂线的参数方程为$（\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，\\ y=\frac{1}{6}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$（t为参数）   …（12分）
（ 方程写成$（\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}+t，\\ y=\frac{1}{6}+t.\end{array}\right.$（t为参数） 等均可 ）

点评 本题考查了直角坐标方程、极坐标方程以及参数方程的转化及其应用，是一道中档题．