Question

14．观察如图所示的”三角数阵”
（1）记第n（n≥2）行的第2个数为a_n，依次写出a ₂，a₃，a₄，a₅，归纳出a_n+1 与a_n 的关系式．
（2）用累加法求该数列的通项公式a_n（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）观察如图所示的”三角数阵”：第n（n≥2）行的第2个数为a_n，可得a ₂，a₃，a₄，a₅．由a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a₅-a₄=4，…．可得：a_n+1-a_n=n；
（2）累加法求该数列的通项公式a_n（n≥2）如下：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂即可得出．

解答 解：（1）观察如图所示的”三角数阵”：
第n（n≥2）行的第2个数为a_n，
a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11．
由a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a₅-a₄=4，…．
可得：a_n+1-a_n=n．
（2）累加法求该数列的通项公式a_n（n≥2）如下：
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=（n-1）+（n-2）+…+2+2
=$\frac{（n-1）n}{2}$+1．
即a_n=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．