Question

12．若数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+n+1，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2006}}}}$等于（　　）

• A． $\frac{4030}{2016}$
• B． $\frac{2015}{2016}$
• C． $\frac{4032}{2017}$
• D． $\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 由所给的式子得a_n+1-a_n=n+1，给n具体值列出n-1个式子，再他们加起来，求出a_n，再用裂项法求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，然后代入进行求值$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2016}}$的值，

解答 由a_n+1=a_n+n+1得，a_n+1-a_n=n+1，
则a₂-a₁=1+1，
a₃-a₂=2+1，
a₄-a₃=3+1
…
a_n-a_n-1=（n-1）+1，
以上等式相加，得a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）+n-1，
把a₁=1代入上式得，a_n=1+2+3+…+（n-1）+n=$\frac{n（n+1）}{2}$
$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
则$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2016}}$=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$）
=2（1-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{4032}{2017}$，
故答案选：C．

点评 本题主要考察数列的求和、利用累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握，属于中档题．