Question

15．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≥0\\ x-2≤0\\ x+y-3≥0\end{array}$，则z=$\frac{2^x}{4^y}$的取值范围是[$\frac{1}{16}$，1]．

Answer 1

分析 先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之．

解答 解：画出可行域，如图所示：
解得A（2，3），B（2，1），
把z=$\frac{2^x}{4^y}$=2^x-2y
令t=x-2y，变形为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{t}{2}$，则直线经过点B时t取得最小值；经过点A时t取得最大值．此时z取得最值．
所以z_max=2^2-2=1，z_min=2^2-2×3=$\frac{1}{16}$，
即z的取值范围是[$\frac{1}{16}$，1]．
故答案为：[$\frac{1}{16}$，1]．

点评 本题考查利用线性规划求函数的最值，考查数形结合思想，是一道中档题．