Question

3．△ABC满足：AB=4，AC=2，A=$\frac{π}{3}$，已知AD垂直BC于点D，E，F为AB，AC中点，则$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=1．

Answer 1

分析 由条件及余弦定理便可求出$BC=2\sqrt{3}$，从而可判断AC⊥BC，点C和点D重合，然后可分别以CB，CA所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，然后便可求出图形上各点的坐标，进而求出向量$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}$的坐标，从而便可得出$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}$的值．

解答 解：根据条件，在△ABC中，由余弦定理得，BC²=16+4-8=12；
∴$BC=2\sqrt{3}$；
∴BC²+AC²=AB²；
∴AC⊥BC；
即D与C重合；
∴分别以CB，CA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
D（0，0），B（$2\sqrt{3}$，0），$A（0，2），E（\sqrt{3}，1），F（0，1）$；
∴$\overrightarrow{DE}=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow{DF}=（0，1）$；
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}=1$．
故答案为：1．

点评 考查余弦定理，直角三角形边的关系，通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算．