Question

18．已知函数f（x）=sin（x-$\frac{3π}{2}$）sinx-$\sqrt{3}$cos²x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f（x），由此得到最值与周期．
（2）由f（x）解析式得到单调增减区间，由此得到在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的单调性．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（x-$\frac{3π}{2}$）sinx-$\sqrt{3}$cos²x，
=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为T=π，
f（x）的最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由（1）可知，f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]上的单调递增，
在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上的单调递减，
而[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]⊆[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，[$\frac{5π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]⊆[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．
∴函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上的单调递增，在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上的单调递减．

点评 本题考查三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式，以及单调区间．