Question

【题目】已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.

（1）证明:点在轴的右侧;

（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出；

（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由与的面积相等列式，即可解出直线的斜率．

（1）由题意，得，直线（）

设，，

联立消去，得，

显然，，

则点的横坐标，

因为，

所以点在轴的右侧．

（2）由（1）得点的纵坐标．

即．

所以线段的垂直平分线方程为：．

令，得；令，得．

所以的面积，

的面积．

因为与的面积相等，

所以，解得．

所以当与的面积相等时，直线的斜率．