Question

已知f(x)在(-1，1)上有定义f()=1，对于x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f()恒成立，对数列{x_n}有x₁=，x_n+1=(n∈N^*)．

(1)证明：f(x)在(-1，1)上为奇函数；

(2)求f(x_n)的表达式；

(3)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，恒成立?若存在，求出m的最小值．

Answer 1

(1)当x=y=0时，f(0)=0，再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(y)+f(-y)=0

∴f(x)在(-1，1)上为奇函数．

(2)由x₁=，x_n+1=(n∈N^*)易知{x_n}中0＜x_n＜1，

∵f(x_n)-f(-x_n)=f()且f(x)在(-1，1)上为奇函数

∴f(x_n+1)=2f(x_n)，由f()=1，x₁=

∴f(x₁)=1

∴{f(x_n)}是以1为首项、2为公比的等比数列

∴f(x_n)=2^n-1．

(3)

假设存在m使得恒成立，即2恒成立，

∵2＜2，∴≥2，∴m≥16，∴存在自然数m≥16，使得+…+ ＜成立，此时最小的自然数m=16．