Question

已知f(x)在(-1，1)上有定义，f()＝1，且满足当x，y∈(-1，1)时，有f(x)-f(y)＝f()，数列{x_n}中有x₁＝，x_n+1＝.

(1)证明f(x)在(-1，1)上为奇函数；

(2)求f(x_n)的表达式；

(3)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，有++…+＜成立？若存在，求出m的最小值.

Answer 1

(1)证明：当x=y时，f(0)=0；                                      

令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(y)+f(-y)=0,                                    

∴对任意的x∈(-1，1)，有f(x)+f(-x)=0.

故f(x)在(-1，1)上为奇函数.                                               

(2)解：∵数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=.

∴0＜x_n＜1.                                                              

∴f(x_n)-f(-x_n)=f［］=f().                                

又f(x)在(-1，1)为奇函数,

∴f(x_n+1)=2f(x_n).

由f()=1，x₁=，有f(x₁)=1,从而f(x_n)=2ⁿ-1.                              

(3)解:++…+=1+++…+=2-.              

假设存在自然数m，使得对于任意的n∈N^*，

有++…+＜成立，即2-＜恒成立.        

∴≥2，解得m≥16.                                               1

∴.存在自然数m≥16，使得对于任意n∈N^*，有++…+＜成立.

此时，m的最小值为16.