Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x²+bx+c
（1）若f（x）有两个不动点为-3，2，求函数y=f（x）的零点？
（2）若c=

b2

4

时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）-3，2为x²+（b-1）x+c=0的两根，解方程可求得b、c的值，从而可求得函数y=f（x）的零点；
（2）函数f（x）没有不动点，方程x²+bx+

b2

4

无实数根，由△＜0即可求得实数b的取值范围．

解答： 解（1）∵f（x）=x²+bx+c有两个不动点-3，2，
即x²+（b-1）x+c=0有两个根-3，2
代入方程得b=2，c=-6，
∴f（x）=x²+2x-6，
∴函数y=f（x）的零点即x²+2x-6=0的根x=-1±

7

，
（2）若c=

b2

4

时，函数f（x）没有不动点，即方程x²+bx+

b2

4

无实数根，
∴△＜0．
解得b＞

1

3

，或b＜-1，

点评：本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及函数的零点．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．