Question

已知函数f（x）=2x³+ax的图象经过点P（2，4）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式及其导数f′（x）；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用函数f（x）=2x³+ax的图象经过点P（2，4），代入计算求f（x）的表达式及其导数f′（x）；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，可得函数的极值与端点函数值比较，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x³+ax的图象经过点P（2，4），
∴16+2a=4，
∴a=-6，
∴f（x）=2x³-6x，
∴f′（x）=6x²-6；
（Ⅱ）f′（x）=6x²-6=0，可得x=±1；
∴函数在（-2，-1），（1，2）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
∵f（-2）=-4，f（-1）=4，f（1）=-4，f（2）=4，
∴f（x）在闭区间[-2，2]上的最大值为4、最小值为-4．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．