Question

已知函数f（x）=ax-

1

x

-（a+1）lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线y=

3

4

x平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极小值，且m≥-a²+4a，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由导函数的几何意义可知曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为f′（2），又切线与直线y=

3

4

x平行，则f′(2)=

3

4

，对y=f（x）求导得f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

，令f′(2)=

3

4

⇒a=2；
（Ⅱ）令f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

=0⇒x1=

1

a

，x2=1，对x₁和x₂比较大小进行讨论，并与函数f（x）在x=1处取得极小值比较确定a＞1，又m≥-a²+4a，则m≥(-a2+4a)max=

1

4

（其中a＞1）

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

，由f′(2)=

3

4

⇒a=2
（Ⅱ）由f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

=0⇒x1=

1

a

，x2=1
①当

1

a

＜1，即a＞1时，函数f（x）在(0，

1

a

)上单调递增，在(

1

a

，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
即函数f（x）在x=1处取得极小值
②当

1

a

=1，即a=1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极小值，所以a≠1
③当

1

a

＞1，即0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在(1，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，+∞)上单调递增，即函数f（x）在x=

1

a

处取得极小值，与题意不符合
即a＞1时，函数f（x）在x=1处取得极小值，又因为m≥-a²+4a，所以m≥4．

点评：本题考查导函数的几何意义，考查分离参数法求恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．