Question

2．若实数x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+2y-4≥0}\\{2x-y-8≤0}\end{array}}$，则z=y-x最小值是-4．z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最大值是7．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．

解答 解：由z=y-x得y=x+z
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最小，此时z也最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x-y-8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，即B（4，0）．
代入目标函数z=y-x，
得z=0-4=-4．
z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$=1+2×$\frac{y+1}{x+1}$，
设k=$\frac{y+1}{x+1}$，则k的几何意义是区域内的点到D（-1，-1）的斜率，
由图象知AD的斜率最大，此时k=$\frac{2+1}{0+1}$=3，
即z=1+2×3=7．
z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最大值是7，
故答案为：-4；7．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用直线平移以及转化为直线斜率，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．综合性较强．