Question

如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA =AB =AC =2，．

（I）求证：CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．

Answer 1

证明：(I)连结AC．

因为为在中，

，，

所以，

所以．

因为AB//CD，

所以．

又因为地面ABCD，

所以．

因为，

所以平面PAC．

 (II)如图建立空间直角坐标系，

则．

因为M是棱PD的中点，

所以．

所以，．

设为平面MAB的法向量，

所以，

即，

令，则，

所以平面MAB的法向量．

因为平面ABCD，

所以是平面ABC的一个法向量．

所以．

因为二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为．

(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．

设直线CN与平面MAB所成角为，

因为平面MAB的法向量，

所以．

解得，即，，所以．