Question

【题目】已知函数h（x）=（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，且为奇函数．
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）=h（x）+ 在x∈[0， ]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数h（x）=（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，

∴m2﹣5m+1=1，

∴m=5或m=0，

当m=5时，h（x）=x6是偶函数，不满足题意，

当m=0时，h（x）=x是奇函数，满足题意；

∴m=0

（2）解：∵g（x）=x+ ，

∴g′（x）=1﹣ ，

令g′（x）=0，解得x=0，

当g′（x）＜0时，即x＞0时，函数为减函数，

∴函数g（x）在[0， ]为减函数，

∴g（ ）≤g（x）≤g（0）

即 ≤g（x）≤1

故函数g（x）的值域为[ ，1]

【解析】（1）首先根据函数是幂函数，可知m2﹣5m+1=1，再验证相应函数的奇偶性，即可求得实数m的值，（2）化简g（x），再求导，根据导数判断g（x）在∈[0， ]的为减函数，故求出值域