Question

【题目】对于四面体，有以下命题：

（1）若，则过向底面作垂线，垂足为底面的外心；

（2）若， ，则过向底面作垂线，垂足为底面的内心；

（3）四面体的四个面中，最多有四个直角三角形；

（4）若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为.

其中正确的命题是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】对于①，设点A在平面BCD内的射影是O，因为AB=AC=AD，所以OB=OC=OD，

则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心，故①正确；

对于②设点A在平面BCD内的射影是O，则OB是AB在平面BCD内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可证BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正确；

对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确；

对于④，如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为：1；

所以OE为内切球的半径，BF=AF=，BE=，

所以AE==，

因为BO2﹣OE2=BE2，

所以（﹣OE）2﹣OE2=（）2，

所以OE=，

所以球的表面积为：4πOE2=，故④正确．

故答案为： ．