Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，

又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，且A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥平面ABC．

解：（Ⅱ）以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

由已知可得O（0，0，0），A（0，﹣1，0）， ，

∴ ， ，

设平面AA1B的一个法向量为 ，

则有 ，

令x=1，得 ，z=1

∴ …（8分）

∵A1O⊥平面ABC

∴平面ABC的一个法向量

∴

又二面角A1﹣AB﹣C是锐角

∴二面角A1﹣AB﹣C的余弦值为

【解析】（Ⅰ）推导出A1O⊥AC，由此利用侧面AA1C1C⊥底面ABC，能证明A1O⊥平面ABC．（Ⅱ）以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣AB﹣C的余弦值．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．