【题目】如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是棱DD1、C1D1的中点.
(Ⅰ)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(Ⅱ)证明:B1F∥平面A1BE;
(Ⅲ)若正方体棱长为1,求四面体A1﹣B1BE的体积.
【答案】解:(Ⅰ)证明:∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,
∴B1C1⊥平面ABB1A1;
∵A1B平面ABB1A1,
∴B1C1⊥A1B.
又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,
∴A1B⊥平面ADC1B1,
∵A1B平面A1BE,
∴平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(Ⅱ)证明:连接EF,EF∥ ,且EF=
,
设AB1∩A1B=O,
则B1O∥C1D,且 ,
∴EF∥B1O,且EF=B1O,
∴四边形B1OEF为平行四边形.
∴B1F∥OE.
又∵B1F平面A1BE,OE平面A1BE,
∴B1F∥平面A1BE,
(Ⅲ)解: =
=
=
=
.
【解析】(Ⅰ)由正方体可得:B1C1⊥平面ABB1A1,B1C1⊥A1B.又A1B⊥AB1,可得A1B⊥平面ADC1B1,即可证明.(Ⅱ)证明:连接EF,利用三角形中位线定理可得四边形B1OEF为平行四边形.可得B1F∥OE.即可证明B1F∥平面A1BE,(Ⅲ)利用 =
=
即可得出.
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【题目】对于四面体,有以下命题:
(1)若,则过
向底面
作垂线,垂足为底面
的外心;
(2)若,
,则过
向底面
作垂线,垂足为底面
的内心;
(3)四面体的四个面中,最多有四个直角三角形;
(4)若四面体的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为
.
其中正确的命题是__________.
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【题目】已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的非负半轴重合.曲线 (t为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+8cosθ. (Ⅰ)将曲线C1 , C2分别化为普通方程、直角坐标方程,并说明表示什么曲线;
(Ⅱ)设F(1,0),曲线C1与曲线C2相交于不同的两点A,B,求|AF|+|BF|的值.
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【题目】已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C的极坐标是ρ=2asinθ,直线l的参数方程是 (t为参数).
(1)若a=2,M为直线l与x轴的交点,N是圆C上一动点,求|MN|的最大值;
(2)若直线l被圆C截得的弦长为 ,求a的值.
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【题目】已知函数定义在
上且满足下列两个条件:
①对任意都有
;
②当时,有
,
(1)求,并证明函数
在
上是奇函数;
(2)验证函数是否满足这些条件;
(3)若,试求函数
的零点.
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【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知命题p:经过定点P0(x0 , y0)的直线都可以用方程y﹣y0=k(x﹣x0)表示,命题q:直线xtan +y﹣7=0的倾斜角是
,则下列命题是真命题的为( )
A.(p)∧q
B.p∧q
C.p∨(q)
D.(P)∧(q)
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【题目】已知过点A(﹣4,0)的动直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于B、C两点.
(1)当l的斜率是时,
,求抛物线C的方程;
(2)设BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
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