Question

4．“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：

累积净化量（克）	（3，5]	（5，8]	（8，12]	12以上
等级	P1	P2	P3	P4

为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的
累积净化量都分布在区间（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均匀分组，其中累积净化量在（4，6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中的x值；
（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？
（Ⅲ）从累积净化量在（4，6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出在（4，6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2=0.06，由此能求出n的值及频率分布直方图中的x值．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共24台，在（5，6]之间共4台，从而落在（5，8]之间共28台，由此能估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台．
（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}=15$，事件B包含的基本事件个数m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，由此能求出恰好有1台等级为P2的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵在（4，6]之间的数据一共有6个，
再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2=0.06，
∴n=$\frac{6}{0.06}$=100，
由频率分布直方图的性质得：
（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2=1，
解得x=0.06．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共：0.12×2×100=24台，
又∵在（5，6]之间共4台，
∴落在（5，8]之间共28台，
∴估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有560台．
（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，
依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，
则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}=15$，
事件B包含的基本事件个数m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，
∴恰好有1台等级为P2的概率P（B）=$\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．