Question

【题目】已知数集X={x1，x2，…，xn}（其中xi>0，i=1，2，…，n，n≥3），若对任意的xk∈X（k=1，2，…，n），都存在xi，xj∈X（xi≠xj），使得下列三组向量中恰有一组共线：

①向量（xi，xk）与向量（xk，xj）；②向量（xi，xj）与向量（xj，xk）；③向量（xk，xi）与向量（xi，xj），则称X具有性质P。例如{1，2，4}具有性质P。

（1）若{1，3，x）具有性质P，则x的取值为________；

（2）若数集{1，3，x1，x2}具有性质P，则x1+x2的最大值与最小值之积为________。

Answer 1

【答案】 或或9

【解析】(1)由题意(1,3)与(3,x);(1,x)与(x,3);(3,1)与(1,x)中恰有一组共线,当(1,3)与(3,x)共线时,可得x=9,此时另外两组不共线,符合题意;当(1,x)与(x,3)共线时,可得x=,此时另外两组不共线,符合题意;当(3,1)与(1,x)共线时,可得,此时另外两组不共线,符合题意;故x的取值为或或9,应填或或9;(2)由(1)可得, =或或9,当x=时,由数集{1,3, , }具有性质P,①若(1,3)与(3, );(1, )与(,3);(3,1)与(1, )中恰有一组共线,可得=9, ;②若(1, )与(,);(1, ,);(,1)与(1, )中恰有一组共线,可得=;③若(3, )与(,);(3, )与(,);(,3)与(3, )中恰有一组共线,可得=;同理当时, {1,3, , }具有性质P,可得;同理当时, ;则的最大值为90,最小值为,故的最大值与最小值之积为,故应填.