Question

【题目】已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn﹣2an=n﹣4．
（1）证明{Sn﹣n+2}为等比数列；
（2）设数列{Sn}的前n项和Tn ， 比较Tn与2n+2﹣5n的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：注意到n=1时，S1﹣1+2=4，

n≥2时原式转化为：Sn=2（Sn﹣Sn﹣1）=n﹣4，即Sn=2Sn﹣1﹣n+4，

所以Sn﹣n+2=2[Sn﹣1﹣（n﹣1）+2]，

所以{Sn﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列

（2）解：由（1）知：Sn﹣n+2=2n+1，所以Sn=2n+1+n﹣2，

于是Tn=（22+23+…+2n+1）+（1+2+…+n）﹣2n

= = ．

所以 = = ，

因为n≥1，所以 即 ，当且仅当n=1时取等号

【解析】（1）根据数列的递推公式可得Sn﹣n+2=2[Sn﹣1﹣（n﹣1）+2]，即可证明，（2）利用分组求和求出Tn ， 再利用作差法比较大小即可
【考点精析】掌握等比数列的通项公式（及其变式）是解答本题的根本，需要知道通项公式：．