Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|的最小值，并求此时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|的表达式，结合x的范围，从而求出|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|的范围即可；
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，再求出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，从而求出f（x）的表达式，进而求出其最小值及x的取值．

解答 解：（Ⅰ）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）}^{2}{+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$
因为x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，π≤2x≤3π，
所以：-1≤cos2x≤1，
∴0≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤2；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos2x，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2-2cos2x}$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=cos^₂x-2|sinx|，
x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，
f（x）=1-2sin²x-2|sinx|=1-2sin²x-2sinx，
此时0≤sinx≤1，令t=sinx，则t∈[0，1]，
∴f（t）=1-2t²-2t=-2${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
当t=1时，f（t）最小，f（t）的最小值是-3，
此时，sinx=1，x=$\frac{π}{2}$，
同理可求x∈[π，$\frac{3π}{2}$]时，f（x）的最小值是-3，
此时，sinx=-1，x=$\frac{3π}{2}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，考查函数的最值问题，是一道中档题．