Question

如图，正三棱锥P-ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD=PF=1，PE=2，则三棱锥P-DEF的体积是

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂直为O，则点O是底面的中心．在正△ABC中，先由重心定理求出AO的长，进而在Rt△PAO中求出高PO，底面正△ABC的面积易求，再根据三棱锥的体积公式V_{三棱锥P-ABC}，再求出三棱锥P-DEF的体积．

解答： 解：如图所示：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，则点O是底面的中心．
∵点O是底面的中心，即为△ABC的重心，∴OA=

4 3

3

．
在Rt△PAO中，由勾股定理得PO=

4 6

3

．
又∵S_△ABC=

3

4

•42=4

3

，
∴V_{三棱锥P-ABC}=

1

3

•4

3

•

4 6

3

=

16

3

2

．
∵PD=PF=1，PE=2，
∴三棱锥P-DEF的体积是

1

4

•

1

4

•

1

2

•

16

3

2

=

2

6

．
故答案为：

2

6

．

点评：理解正三棱锥的定义及体积的计算方法是解题的关键．