Question

如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=

1

2

AB，P是BC的中点．
（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．

Answer 1

（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．
又∵P是BC的中点，∴FP

∥

.

1

2

AC．
∵ED=

1

2

AB=

1

2

AC，ED∥AC，
∴FP

∥

.

ED，
∴四边形EFPD是平行四边形，
∴PD∥EF．
而EF?平面EAB，PD?平面EAB，
∴PD∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），E(0，1，

3

)，D(0，2，

3

)．
∴

EB

=(2，-1，-

3

)，

ED

=(0，1，0)．
设平面EBD的法向量

n

=(x，y，z)，由

n • EB =0 n • ED =0

，得

2x-y- 3 z=0 y=0

，
取z=2，则x=

3

，y=0．∴

n

=(

3

，0，2)．
可取

m

=(0，0，1)作为平面ABC的一个法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

7

=

2 7

7

．
即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为

2 7

7

．