Question

17．设偶函数f（x）的定义域为[-4，0）∪（0，4]，若当x∈（0，4]时，f（x）=log₂x，
（1）求出函数在定义域[-4，0）∪（0，4]的解析式；
（2）求不等式xf（x）＜0得解集．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），当x∈（0，4]时，f（x）=log₂x，可求x∈[-4，0）的解析式．
（2）根据定义域的不同，解析式不同，分类解不等式即可．

解答 解：（1）由题意知：f（x）是偶函数，即f（-x）=f（x），
当x∈（0，4]时，f（x）=log₂x，
那么：当x∈[-4，0）时，则-x∈（0，4]，
可得：f（-x）=log₂-x，
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）=log₂-x，
故得f（x）的函数解析式为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，（0＜x≤4）}\\{lo{g}_{2}-x，（-4≤x＜0）}\end{array}\right.$
（2）当0＜x≤4时，f（x）=log₂x，
∵0＜x＜1时，f（x）＜0，
不等式xf（x）＜0恒成立．
当-4≤x＜0时，f（x）=log₂-x，
∵-4≤x＜-1时，f（x）＞0，
不等式xf（x）＜0恒成立．
综上所述：不等式的解集为（-4，-1）∪（0，1）．

点评 本题考考查了分段函数的解析式的求法以及不等式的解集转化为恒成立来求解．属于基础题．