下列命题正确的个数为( )①若函数y=f(x)是定义在R上的增函数.且满足f-1.那么关于x的不等式f(x2-1)+f(1-x)＞0的解集为{x|x＜-1或x＞2}②若函数f(x)=(a2-a-2)x2+(a+1)x+2的定义域和值域都为R.则a=2,③已知函数f=2x+1.若对任意的x1∈[-1.1]都存在x2∈[-1.1].使得f(x1)=g(x2).则0≤a≤2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．下列命题正确的个数为（　　）
①若函数y=f（x）是定义在R上的增函数，且满足f（1）=0，f（a）+f（b）=f（a+b）-1，那么关于x的不等式f（x²-1）+f（1-x）＞0的解集为{x|x＜-1或x＞2}
②若函数f（x）=（a²-a-2）x²+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，则a=2；
③已知函数f（x）=x+a，g（x）=2x+1，若对任意的x₁∈[-1，1]都存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），则0≤a≤2
④已知函数f（x）=x+a，g（x）=2x+1，若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），则-2≤a≤2．

A．

B．

C．

D．

分析首先利用赋值法求出f（2）=1，再利用条件将不等式转化为f（x²-x）＞f（2），又因为f（x）是增函数，所以x²-x＞2，即可求出不等式的解集，故①正确；
由条件可知a²-a-2=0，解得a=-1，或2，通过检验可知a=2，故②正确；
首先分别求出f（x₁）和f（x₂）的值域为A和B，再将条件“对任意的x₁∈[-1，1]都存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂）”转化为“A⊆B”即可求出a的取值范围为[0，2]，故③正确；
首先分别求出f（x₁）和f（x₂）的值域为A和B，再将条件“存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂）”转化为“A∩B≠∅”即可求出a的取值范围为[-2，4]，故④错误．

解答解：对于①：令a=b=1，则2f（1）=f（2）-1，得f（2）=1．
∵f（a）+f（b）=f（a+b）-1，∴f（x²-1）+f（1-x）=f（x²-x）-1=f（x²-x）-f（2），
∴f（x²-x）-f（2）＞0，即f（x²-x）＞f（2），又∵函数y=f（x）是定义在R上的增函数，
∴x²-x＞2，即x²-x-2＞0，解得x＜-1，或x＞2．
故①正确；
对于②：∵函数f（x）=（a²-a-2）x²+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，
∴a²-a-2=0，解得a=-1，或2．
当a=-1时，f（x）=2，此时定义域为R，值域为{2}，不符合条件；
当a=2时，f（x）=3x+2，此时定义域和值域都为R，符合条件．
故②正确；
对于③：当x₁∈[-1，1]时，x₁+a∈[a-1，a+1]，
当x₂∈[-1，1]时，2x₂+1∈[-1，3]，
∵对任意的x₁∈[-1，1]都存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴[a-1，a+1]⊆[-1，3]
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≤3}\\{a-1≥-1}\end{array}\right.$，得0≤a≤2．
故③正确；
对于④：当x₁∈[-1，1]时，x₁+a∈[a-1，a+1]，
当x₂∈[-1，1]时，2x₂+1∈[-1，3]，
∵存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴[a-1，a+1]∩[-1，3]≠∅
若[a-1，a+1]∩[-1，3]=∅，则a+1＜-1，或a-1＞3，得a＜-2，或a＞4
∴-2≤a≤4．
故④错误．
故答案为：B

点评本题通过命题的真假判断考查了利用抽象函数的性质解不等式，以及函数的定义域与值域，同时还考查了赋值法和转化法等数学解题方法，有一定难度，属于中档题．

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