Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）设T_n=（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项；
（3）记b_n=

1

an

+

1

an+2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得a_n+1=a_n²+2a_n，变形得a_n+1+1=（a_n+1）²，再两边取对数化简后，由等比数列的定义可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的通项公式求出1+a_n的表达式，代入T_n根据指数的运算和等比数列的前n项公式化简；
（Ⅲ）将a_n+1=a_n²+2a_n化简后取倒数得

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，再代入b_n=

1

an

+

1

an+2

化简，利用前后项相消后求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 证明：（Ⅰ）由题意得a_n+1=a_n²+2a_n，即a_n+1+1=（a_n+1）²，
两边取对数得，lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），即

lg(an+1+1)

lg(an+1)

=2，
由a₁=2得，lg（a₁+1）=lg3，
即数列{lg（1+a_n）}是公比为2、以lg3为首项的等比数列；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，lg（1+a_n）=2^n-1lg3=lg32n-1，
所以1+a_n=32n-1，
所以T_n=（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n）
=320•321•322…32n-1=3

1-2n

1-2

=32n-1，
由1+a_n=32n-1，得a_n=32n-1-1；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，a_n+1=a_n²+2a_n=2a_n（a_n+2），
所以

1

an+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，即

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
又b_n=

1

an

+

1

an+2

，所以b_n=2(

1

an

-

1

an+1

)，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）]
=2（

1

a1

-

1

an+1

），
由a_n=32n-1-1得，a₁=2，a_n+1=32n-1，代入上式得，
S_n=1-

2

32n-1

．

点评：本题考查等比数列的定义，前n项公式，裂项相消法求数列的和，以及指数、对数的运算等，属于中档题．