Question

14．已知抛物线y²=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线相切，又直线y=2x被双曲线截得线段长为2$\sqrt{5}$，求此双曲线方程．

Answer 1

分析 设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），与y²=4x联立，利用抛物线与双曲线相切，所以16b⁴-4a⁴b²=0，可得
b²=$\frac{1}{4}$a⁴，利用直线y=2x被双曲线截得线段长为2$\sqrt{5}$，且双曲线关于坐标轴对称的性质，可求得直线y=2x与双曲线交于（1，2）和（-1，-2）两点，代入双曲线方程，即可求此双曲线方程．

解答 解：设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
与y²=4x联立得：a²X²-4b²X+a²b²=0，
因为抛物线与双曲线相切，所以16b⁴-4a⁴b²=0，
因为b＞0，所以b²=$\frac{1}{4}$a⁴，
双曲线方程可化为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}{a}^{4}}$=1；
又直线y=2x被双曲线截得线段长为2$\sqrt{5}$，且双曲线关于坐标轴对称的性质，
可求得直线y=2x与双曲线交于（1，2）和（-1，-2）两点，
将点（1，2）代入$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}{a}^{4}}$=1，整理得：a⁴-4a²+4=0，
所以a²=2，所以b²=$\frac{1}{4}$a⁴=1，
故双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}-{x}^{2}$=1．

点评 本题考查双曲线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．