Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得f′（x）=x的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据极值的信息，则选用导数法，先求f'（x），再由f（x）有极值，可有=a²-4b＞0，又由在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1从而求解．
（2）先假存在，则根据条件，则有

△=(a-1)2-4b＞0① 0＜ 1-a 2 ＜1② g(0)=a＞0③ g(1)=2a＞0④

解之得答案．

解答：解：（1）f'（x）=x²+ax+b（1分）
因为f（x）有极值，∴△=a²-4b＞0（2分）
又在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，∴f'（-1）=1-a+b=1①②③④
∴b=a代入（*）式得，a²-4b＞0，∴a＞4或a＜0（6分）
（2）假若存在实数a，使f'（x）=x的两个根x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，
即x²+（a-1）x+a=0的两个根x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，
令g（x）=x²+（a-1）x+a，则有：

△=(a-1)2-4b＞0① 0＜ 1-a 2 ＜1② g(0)=a＞0③ g(1)=2a＞0④

解之得
0＜a＜3∴存在实数a，且0＜a＜3使是f'（x）=x的两个根满足0＜x₁＜x₂＜1．

点评：本题主要考查极值和导数的几何意义以及方程根的分布问题．