Question

三棱锥A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=

3

，则此三棱锥外接球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：根据题意可得BD是Rt△ABD、Rt△CBD公共的斜边，利用直角三角形的性质，得到BD的中点E就是三棱锥A-BCD外接球的球心．Rt△ABD中利用勾股定理算出球直径为2，得到半径R=1，再利用球的体积公式即可算出答案．

解答： 解：取BD的中点E，连结CE、AE，
∵BA⊥AD，BC⊥CD，
∴BD是Rt△ABD、Rt△CBD公共的斜边，
∵E为BD的中点，∴EC=EA=EB=ED=

1

2

BD
由此可得点E是三棱锥A-BCD外接球的球心．
又∵AB=1，AD=

3

，∴BD=

AD2+AB2

=2，
可得三棱锥A-BCD外接球的直径为2，半径R=1，
因此，三棱锥外接球的体积为V=

4πR3

3

=

4π

3

故答案为：

4π

3

点评：本题给出三棱锥满足的条件，求它的外接球体积．着重考查了球内接多面体的性质、勾股定理和球的体积公式等知识，属于中档题．