Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式，并说明函数的单调性；
（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）是R上的奇函数，

所以f（0）=0，解得b=﹣1，

从而有f（x）= ，

经检验，符合题意．

因为f（x）=1﹣ ，

所以由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为增函数

（2）解：因为f（x）在R上是奇函数，

从而不等式f（2x+1）+f（x）＜0可化为f（2x+1）＜﹣f（x），

即f（2x+1）＜f（﹣x），

又因f（x）是R上的增函数，

由上式推得1+2x＜﹣x，解得x ．

所以不等式的解集为（﹣ ）

【解析】（1）利用（0）=0，解得b，可求函数f（x）的解析式，f（x）=1﹣ ，由y=2x的单调性可推知函数的单调性；（2）不等式f（2x+1）+f（x）＜0，转化为f（2x+1）＜f（﹣x），利用单调性，可得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．