Question

19．如图，四边形ABCD是正方形，AB⊥PM，在平面四边形AMPD中，PM⊥DM
（1）求证：PM⊥平面CDM
（2）若AD与PM不平行，求证：平面ABCD⊥平面AMPD．

Answer 1

分析 （1）证明PM⊥CD，PM⊥DM，且CD∩DM=D，即证PM⊥平面CDM；
（2）由CD⊥AD，CD⊥PM，且AD与PM相交，证明CD⊥平面AMPD，
从而证明平面ABCD⊥平面AMPD．

解答 解：（1）证明：正方形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥PM，
∴PM⊥CD，
又PM⊥DM，CD∩DM=D，CD?平面CDM，DM?平面CDM，
∴PM⊥平面CDM；
（2）证明：四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵平面四边形AMPD中，AD与PM不平行，
∴AD与PM相交；
又CD⊥PM，且AD?平面AMPD，PM?平面AMPD，
∴CD⊥平面AMPD；
又CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AMPD．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了逻辑推理与空间想象能力，是中档题．