Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}sinx，8$），$\overrightarrow{b}$=（8cosx，cos²x），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+m，m∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x$∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$时，-3≤f（x）≤14恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设A为△ABC的一个内角，且f（$\frac{A}{2}-\frac{π}{12}$）-m=$\frac{52}{5}$，cosB=$\frac{5}{13}$，求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期．
（2）曲线相位的范围，利用三角函数的有界性求解m的范围即可．
（3）利用已知条件转化列出方程求解即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}sinx，8$），$\overrightarrow{b}$=（8cosx，cos²x），
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+m=$8\sqrt{3}sinxcosx+8co{s}^{2}x+m$=4$\sqrt{3}$sin2x+4cos2x+m+4=8sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+4，
所以函数的周期为：T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）x$∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$时，∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，∴m≤f（x）≤m+12，
要使-3≤f（x）≤14恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{m+12≤14}\\{m≥-3}\end{array}\right.$∴-3≤m≤2．
（3）f（$\frac{A}{2}-\frac{π}{12}$）-m=$\frac{52}{5}$，∴8sin[2（$\frac{A}{2}-\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+m+4=$\frac{52}{5}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$∵A∈（0，π）∴cosA=$±\frac{3}{5}$，
cosB=$\frac{5}{13}$，∴sinB=$\frac{12}{13}$，由于cosB=$\frac{5}{13}$$＜\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}＜B＜\frac{π}{2}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sinA=\frac{4}{5}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}＜A＜\frac{π}{3}或\frac{2π}{3}＜A＜\frac{3π}{4}$，由因为A+B＜π，∴$\frac{π}{4}＜A＜\frac{π}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}+\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{33}{65}$

点评 本题考查三角函数化简求值，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．