Question

16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB．
（1）若a=2，b=$\sqrt{7}$，求c；
（2）若$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2sin²（C-$\frac{π}{12}$）=0，求A．

Answer 1

分析 （1）由已知等式，利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简可得tanB=$\sqrt{3}$，从而可求cosB，利用余弦定理即可解得c的值．
（2）由降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，两角差的正弦函数公式化简等式可得2sin（2A-$\frac{π}{3}$）-1=0，及$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{2}$，可得A的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵a=bcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，
∴sinA=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴cosBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∴∠B=$\frac{π}{3}$．
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴c²-2c-3=0，
∴c=3．（6分）
（2）∵B=$\frac{π}{3}$．
∴$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2sin²（C-$\frac{π}{12}$）
=$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）-1+cos（2C-$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+cos（$\frac{4π}{3}$-2A-$\frac{π}{6}$）-1
=$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）-cos（2A-$\frac{π}{6}$）-1
=2sin（2A-$\frac{π}{3}$）-1，（10分）
∴由2sin（2A-$\frac{π}{3}$）-1=0，及$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{2}$，可得A=$\frac{π}{4}$． （12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．