Question

5．已知函数y=f（x）的定义域为R，且y=f（x-1）的图象关于x=1对称，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}tan\frac{πx}{4}，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{4}）^{x}+1，x＞1}\end{array}\right.$若关于x的方程5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R）有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是a=$\frac{5}{4}$或0＜a＜1．

Answer 1

分析 易知函数y=f（x）是R上的偶函数，作函数y=f（x）的图象，由方程化简可解得f（x）=a或f（x）=$\frac{6}{5}$，从而转化为函数的图象的交点的个数，从而解得．

解答 解：∵函数y=f（x）的定义域为R，且y=f（x-1）的图象关于x=1对称，
∴函数y=f（x）是R上的偶函数，
故作函数y=f（x）的图象如下，
，
∵5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a=0，
∴（f（x）-a）（5f（x）-6）=0，
∴f（x）=a或f（x）=$\frac{6}{5}$，
∵1＜$\frac{6}{5}$＜$\frac{5}{4}$，∴f（x）=$\frac{6}{5}$有四个不同的解，
∴f（x）=a有两个不同的解，
即y=f（x）与y=a的图象有两个不同的交点，
故a=$\frac{5}{4}$或0＜a＜1；
故答案为：a=$\frac{5}{4}$或0＜a＜1．

点评 本题考查了函数的性质的判断及函数的图象的作法与应用，同时考查了方程与函数的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．