Question

3．已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设|$\overrightarrow{OB}$|=5，|$\overrightarrow{OD}$|=3，则（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）=16．

Answer 1

分析 根据条件，AC垂直平分线段BD，从而得出$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}$，而$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EC}$，且$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$，代入$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}）$进行向量加法和数量积的运算便可求出答案．

解答 解：∵AC是BD的垂直平分线；
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}$；
∴$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}）$
=$（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EC}）$$•\overrightarrow{DB}$
=$（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}）+$$（\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}）•\overrightarrow{DB}$
=${\overrightarrow{OB}}^{2}-{\overrightarrow{OD}}^{2}$
=25-9
=16．
故答案为：16．

点评 考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算．