Question

8．已知抛物线x²=4y的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $3-2\sqrt{2}$
• B． $2-\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}-1$

Answer 1

分析 求出F（0，1），Q（0，-1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，则m=$\frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{|PM|}{|PQ|}=sinα$，当α最小时，m有最小值，设P（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），然后求解a，c，即可求解椭圆的离心率、

解答 解：由已知，F（0，1），Q（0，-1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，
则m=$\frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{|PM|}{|PQ|}=sinα$，
当α最小时，m有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于
点P
设P（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），可得P（±2，1），所以|PQ|=2$\sqrt{2}$，|PF|=2，则|PF|+|PQ|=2a，
∴a=$\sqrt{2}+1$，c=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}-1$，
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．