Question

17．将函数f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，所得到的图象关于y轴对称，则φ的最小值为$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 由两角和的正弦化简y=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x，平移后由函数为偶函数得到2φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，由此可求最小正数φ的值．

解答 解：∵y=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴将函数y=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移φ（φ＞0）个长度单位后，
所得到的图象对应的函数解析式为y=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{3}$）．
∵所得到的图象关于y轴对称，
∴y=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{3}$）为偶函数．
即2φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
当k=0时，φ的最小值为$\frac{π}{12}$．
故答案为：$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象平移，考查了三角函数奇偶性的性质，是基础题．