Question

7．已知函数f（x）=4cos（$\frac{π}{3}$-ωx）cosωx-1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．可得周期T=π，从而求出ω，可得函数f（x）的解析式．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；利用x在[0，2π]上k取不同的值，可得各段单调递增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=4cos（$\frac{π}{3}$-ωx）cosωx-1（ω＞0）
化简可得：f（x）=4（cos$\frac{π}{3}$cosωx+sin$\frac{π}{3}$sinωx）cosωx-1
=4（$\frac{1}{2}$cosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx）cosωx-1
=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-1
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∵函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，所以$\frac{2π}{2ω}=π$，即ω=1，
∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
 可得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$
∴函数f（x）的单调增区间为[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，
∵x在[0，2π]上，
当k=0时，得函数f（x）在[0，2π]单调递增区间为[0，$\frac{π}{6}$]；
当k=1，得函数f（x）在[0，2π]单调递增区间为[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]；
当k=2，得函数f（x）在[0，2π]单调递增区间为[$\frac{5π}{3}$，2π]．
故得函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]和[$\frac{5π}{3}$，2π]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．