Question

7．设M、N是直线x+y-2=0上的两动点，且|MN|=$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 设M（m，2-m），N（n，2-n），且m＞n，运用两点的距离公式可得m-n=1，再由向量的数量积的坐标表示，转化为n的二次函数，配方即可得到所求最小值．

解答 解：设M（m，2-m），N（n，2-n），且m＞n，
由|MN|=$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{（m-n）^{2}+（m-n）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得m-n=1，即m=1+n，
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=mn+（2-m）（2-n）=2mn+4-2（m+n）=2n（1+n）+4-2（1+2n）
=2（n²-n+1）=2[（n-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]≥$\frac{3}{2}$，
当n=$\frac{1}{2}$，m=$\frac{3}{2}$时，可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最小值为$\frac{3}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示，注意运用转化思想，运用二次函数的最值求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．