Question

15．如图，在四棱锥A-BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．
（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）M、N是棱BC的两个三等分点，求证：EM⊥平面ADN．

Answer 1

分析 （1）取BD的中点G，连接EG，FG，证明平面EFG∥平面ABC，即可证明：EF∥平面ABC；
（2）M、N是棱BC的两个三等分点，证明EM⊥ND，AD⊥EM，即可证明：EM⊥平面ADN．

解答 证明：（1）取BD的中点G，连接EG，FG，
∵F是AD的中点，
∴FG∥AB，
∵BD=2CE，∴BG=CE，
∵∠DBC=∠BCE，
∴E，G到直线BC的距离相等，则EG∥CB，
∵EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面ABC，
∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE，
∴BC=3CE，
∵M、N是棱BC的两个三等分点，
∴MN=CE，BD=BN，
∵∠DBC=60°，
∴△BDN是正三角形，即∠BND=60°，
∵∠BCE=60°，∴CE∥ND，
△CEM中，CM=2CE，∠BCE=60°，
∴∠CEM=90°，
∴EM⊥CE，EM⊥ND，
∵AD⊥平面BCED，
∴AD⊥EM，
∵AD∩ND=D，
∴EM⊥平面ADN．

点评 本题考查面面平行、线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．