Question

2．已知等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为-4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（4-a_n）•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a₁和d，进而根据等差数列的通项公式求得a_n．
（2）根据（1）中的a_n，求得b_n，进而根据错位相减法求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{8{a}_{1}+28d=-4}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=-1
故a_n=3+（n-1）（-1）=4-n；
（2）由（1）的解答得，b_n=n•3^n-1，于是
S_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1．
将上式两边同乘以3，得：
3S_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ．
将上面两式相减得到：
2S_n=n•3ⁿ-（1+3+3²+…+3^n-1）
=n•3ⁿ-$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$，
于是S_n=$（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3}^{n}+\frac{1}{4}$．

点评 本小题主要考查数列的基础知识和划归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．