Question

若函数f（x）=cos²x+2msinx-2m-1（x∈[0，

π

2

]）的最大值为3，求m的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：首先将解析式化简，利用正弦函数得有界性求二次函数得最值，注意正确的全面讨论．

解答： 解：f（x）=cos²x+2msinx-2m-1=-sin²x+2msinx-2m=-（sinx-m）²+m²-2m，
因为x∈[0，

π

2

]，所以sinx∈[0，1]，
令t=sinx，t∈[0，1]，则f（t）=-（t-m）²+m²-2m，
①当m＞1时，f（t）在[0，1]上是增函数，最大值为f（1）=-1+2m-2m=-1=3矛盾；
②当m＜0时，f（t）在[0，1]上是减函数，最大值为f（0）=-2m=3，解得m=-1.5；
③0≤m≤1，f（t）在[0，m]上是增函数，f（t）在[m，1]上是减函数，最大值为f（m）=m²-2m=3，解得m=-1（舍去），m=3．
综上m的值为-1.5或者3．

点评：本题考查三角函数与二次函数相结合的最值的求法，考查了分类讨论的思想的应用，是高考常考题型．