Question

如图为函数f（x）=

2x

x2+1

的部分图象，ABCD是矩形，A，B在图象上，将此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为（　　）

• A、π
• B、2π
• C、3π
• D、4π

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先求出y的范围，再设出点AB的坐标，根据AB两点的纵坐标相等得到x₂•x₁=1，再求出高h，根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值．

解答： 解：∵f（x）=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

=y≤1当且仅当x=1时取等号，
∴x+

1

x

=

2

y

∵矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，
设A点的坐标为（x₁，y），B点的坐标为（x₂，y），
则圆柱的底面圆的半径为y，高位h=x₂-x₁，
∵f（x₁）=

2x1

x12+1

，f（x₂）=

2x2

x22+1

，
∴

2x1

x12+1

=

2x2

x22+1

，
即（x₂-x₁）（x₂•x₁-1）=0，
∴x₂•x₁=1，
∴h²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=(x1+

1

x1

)2-4=

4

y2

-4，
∴h=2•

1-y2

y

，
∴V_圆柱=πy²•h=2π

y2•(1-y2)

≤2π•

y2+1-y2

2

=π，当且仅当y=

2

2

时取等号，
故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为π，
故选：A

点评：本题主要考查空间几何体的体积计算，基本的不等式的应用，本题求出x₂•x₁=1是关键，属于中档题．